베이즈 정리(베이지언 확률)

베이즈 정리(베이지언 확률) - Bayesian theorem

사건 A1, A2, A3, ..., An이 표본공간 Ω를 이룰 때, 사건 Ai가 서로 배반이고

※ 배반 : 한쪽이 일어날 경우 다른 한쪽이 일어나지 않는 경우를 말한다.

             (A와 B가 일어날수 있을때, 만약 A가 일어나면 B가 일어나지 않는 것)

B를 임의의 사건 사건이라 하면,

이다.  이때 An ∩ B는 서로 배반이다. 따라서 다음이 성립한다.

 

 

확률의 곱셈정리에 의하여 [식 2]는 다음과 같이 표현이 가능하다.

또한, 임의의 사건 Ai에 대한 사건 B의 조건부 확률 P(B|Ai)의 정의로 부터

를 얻을 수 있다.

[식3]과 [식4]를 이용해서 베이즈 정리(Bayes theorem)를 만들 수 있다.

예) 다음 그림과 같이 4개의 상자에 각각 빨간 공과 파란 공이 들어있다. 다음과 같은 방식으로 상자들 중에서

하나를 선택하여 임의로 공을 꺼낼 때, 꺼낸 공이 빨간 공일 확률을 구하라.

                          

(a) 각각의 상자를 선택할 기회가 모두 동등한 경우

     각각의 상자를 선택할 확률은 모두 동등하므로 1/4이다. 이때 빨간 공을 꺼낸 사건을 E, 각각의 상자를 선택할

     사건을 A, B, C, D라 하면, 전확률 공식에 의하여 빨간공을 꺼낼 확률은 다음과 같다.

      

(b) 동전을 세 번 던져서 앞면이 3번 나오면 상자 A, 앞면이 2번 나오면 상자 B, 앞면이 1번 나오면 상자 C를 선택,

     앞면이 나오지 않으면 상자 D를 선택할 경우